TOPSIS法
数据预处理
1.指标类型：
- 效益型属性：越大越好的属性，例如上述人均专著、科研经费。
- 成本型属性：越小越好的属性，例如逾期毕业率。
- 区间型属性：在某一区间内最好，过大或过小都不好，例如师生比。
显然的是，求效益型属性无需处理；而对于成本型属性，求正理想解时对其取最小值，求负理想解时对其取最大值；而对于区间型属性，根据数据与最优区间的差异进行处理。
2.区间型属性的变换
- 设第 $j$ 个指标的最优属性区间为 $[ a_j^0, a_j^*]$ ， $a_j^{\prime}$ 为无法容忍下限， $a_j^{\prime\prime}$ 为无法容忍上限，则：
- 若在最优属性区间内，值设为1；超出可容忍的范围，值设为0。
- 不在最优区间内，但是还在可接受的范围内，按公式改为0到1之间的值。
3.向量规范化：
无论成本型属性还是效益型属性，都用相同公式进行变换：
$b_{ij} = \frac{a_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m} a_{ij}^2}}$
规范化后的数值，同一属性值(评价指标)的平方和为1。
确保不同评价指标在同一数量级(0到1之间)。
变换前后，每个属性值(评价指标)中的数据的大小排序不变。
加权处理
不同指标的重要性不同
- 与AHP的两两比较不同，TOPSIS法直接给每个指标加上权重。
- 因为TOPSIS法充分利用了数据的差异，只要权重设置的不是太离谱，对结果影响不会太大。
最终求解
求解思路
对第 $j$ 个属性(指标)的正理想解：
对第 $j$ 个属性(指标)的负理想解：
第 $i$ 个方案到正理想解的距离：
$s_i^{*} = \sqrt{\sum_{j=1}^n (c_{ij}-c_j^{*})^2}$
第 $j$个方案到负理想解的距离：
$s_i^{0} = \sqrt{\sum_{j=1}^n (c_{ij}-c_j^0)^2}$
最终求解：
各方案的综合评价指数：$f_i^{*} = \frac{s_i^0}{s_i^0+s_i^{*}} = \frac{1}{1+\frac{s_i^*}{s_i^0}}$
显然，距离正理想解越近 ($s_i^*$ 越小)，距离负理想解越远 ($s_i^0$ 越大)越好。
按 $f_i^*$ 从大到小排序方案的优劣，即为所求。
