熵权法

熵的概念：

• 信息论中，熵是对不确定性的一种度量，可判断一个事件的随机性及无序程度。
• 用熵值判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大。

适用赛题

• 数据全面，但缺少文献或主观依据的题目
  • 例如，评价河流的水质，已知河流的含氧量、pH值、细菌密度、生物密度等数据
  • 但缺乏评价水质的文献资料，或者文献内的说法不一
  • 即文献很难帮助我们确定影响水质最重要的因素是哪一个，也很难告诉我们其余指标的重要程度如何衡量
  • 此时即可使用熵权法，根据数据本身建立评价体系

注意事项

• 熵权法与其他方法 (如AHP、TOPSIS法等) 最大的区别就是完全客观
• 难以将数据之外的因素考虑进去

1.数据标准化

标准化的原因：

• 评价体系中，存在数值越大越好的正向指标，和数值越小越好的负向指标
• 不同指标数量级也可能不同；且求熵的公式中用到对数函数，变量不允许有负值

正向指标标准化：

$ a_{ij} = \frac{ x_{ij}- \min(x_{1j},…,x_{nj} )}{\max(x_{1j},…,x_{nj})-\min(x_{1j},…,x_{nj})} $

负向指标标准化：

$ a_{ij} = \frac{ \max(x_{1j},…,x_{nj}) - x_{ij} }{\max(x_{1j},…,x_{nj})-\min(x_{1j},…,x_{nj})} $

不难发现，标准化之后，$a_{ij}$ 所有值在 $[0,1] $ 区间之内，且都是数值越大、现实意义越好。

2.指标的熵值和变异程度

①每个评价对象在各个指标中的比重：

• 可理解为统计意义上某种情况出现的概率

  $p_{ij} = \frac{a_{ij}}{\sum_{i=1}^{n} a_{ij}}$

②熵值

• 对于第 $i$ 个指标，其熵值 $e_j$ 为：

  $e_j = -\frac{1}{\ln n} \sum_{i=1}^{n} p_{ij} \ln p_{ij}$

③变异系数

• 第 $j$ 个指标的变异系数： $g_j = 1 - e_j$ .
• 显然熵值越大、变异系数越小，代表该指标越有序，该指标的信息量也就越小。

3.权重与评分

变异系数求权重

• 计算第 $j$ 个指标的权重： $w_j = \frac{g_j}{\sum_{j=1}^{m} g_j} $ .
• 指标的变异系数越大、信息量越大，相应指标的权重也越大。

综合评分

• 计算第 $i$ 个评价对象的综合评价值

  $s_i = \sum_{j=1}^{m} w_j p_{ij}$

• 该公式对不同科目加权求和，得到每个人的平均值，评价值越大越好。

• $p_{ij}$ 和 $w_j$ 都是原始数据 (成绩) 求得的，完全客观，不掺杂主观成分。