GM(1,1)灰色预测

显然地，G代表Grey(灰色)，M代表Model(模型)；而(1,1)代表只含有一个变量的一阶微分方程模型。

灰色系统：

介于黑色和白色之间，部分已知，部分未知，具有小样本数据的不确定性系统。
典型例子：GDP就是灰色系统。

适用赛题：

数列预测
- 特点：定时求量。已知xx年到xx年的数据，请预测下一年的数值。
- 常见GDP、人口数量、耕地面积、粮食产量等问题。
- 针对的问题往往短期波动小、可预测，但长期可能变化大、难以预测。
灾变预测
- 特点：定量求时。已知xx年到xx年的数据和某灾变的阈值，预测下一次灾变发生的时间。
- 常见洪涝灾害、虫灾等问题。
- 模型中需要把超出阈值的数据 (异常数据) 对应的时间组成新序列。
拓扑预测
- 特点：对数据波形进行预测。求的是多个模型构成的模型群，等于求解多个灾变预测。
- 与灾变预测类似，不过有较详细的分级，例如虫灾 “轻微” “中度” “重度”。
注意事项
- 需要的数据量少，数据量太多了没有意义。
- 只能短期预测，但究竟多短没有严格限制。

以下题为例：某城市1986到1992年道路噪声平均声级数据见下表。请预测下一年的数据。

某城市交通噪声数据/$dB(A)$

序号	1	2	3	4	5	6	7
年份	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992
噪声	71.1	72.4	72.4	72.1	71.4	72.0	71.6

特点：数据少，看不出明显规律，适合用灰色预测。

可进行数据的累加，于是有：

序号	1	2	3	4	5	6	7
年份	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992
$x^{(0)}$	71.1	72.4	72.4	72.1	71.4	72.0	71.6
$x^{(1)}$	71.1	143.5	215.9	288	359.4	431.4	503

累加生成序列：$x^{(1)}(k) = \sum_{i=1}^k x^{(0)}(i)$
弱化其随机性，显现其规律性。

此时生成的新序列 $x^{(1)}$ ，看起来像一个指数曲线 (直线)。因此可用一个指数曲线的表达式来逼近这个新序列，相应可构建一阶常微分方程来求解拟合指数曲线的函数表达式。

关于一阶常微分方程，假设 $x^{(1)}$ 满足形式： $\frac{dx^{(1)}}{dt} + ax^{(1)} = u$

要预测下一年数值，就需要新序列 $x^{(1)}$ 的表达式，那就要解出微分方程。
要解微分方程，就要先知道参数 $a$ 和 $u$

表达式处理

已知的 $\frac{dx^{(1)}}{dt} + ax^{(1)} = u$ 中的数据是离散的，所以应该把 $\frac{dx^{(1)}}{dt}$ 写成 $\frac{\Delta x^{(1)}}{\Delta t}$ .

$\Delta t = t - (t-1) = 1$，始终为1；而 $\Delta x^{(1)} = x^{(1)}(t)- x^{(1)}(t-1) = x^{(0)}(t)$
得到方程$x^{(0)}(t) + ax^{(1)}(t) = u$ ，即 $x^{(0)}(t) = - ax^{(1)}(t) + u$

为了进一步消除数据随机性，将 $x^{(1)}(t)$ 修正为 $z^{(1)}(t)$

考虑到原方程中有 $\frac{\Delta x^{(1)}}{\Delta t}$，因此将 $x^{(1)}(t)$ 改为取前后两个时刻的均值更合理。
对 $x^{(1)}$ 进行均值生成：$z^{(1)}(t) = 0.5x^{(1)}(t)+0.5 x^{(1)}(t-1),t=2,…,n$，即方程改为 $x^{(0)}(t) = - az^{(1)}(t) + u$ .
可用最小二乘法求未知参数。

模型求解

1.最小二乘法求解

当前方程 (函数) 为 $x^{(0)}(t) = - az^{(1)}(t) + u$ .
最小二乘法就是求出当拟合函数求的值与已知数据的平方差最小时，未知参数的取值。
方程矩阵形式 $Y = B U$

$\begin{bmatrix} x^{(0)}(2) \\ x^{(0)}(3) \\ \vdots \\ x^{(0)}(N) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} [x^{(1)}(2) + x^{(1)}(1)] & 1 \\ -\frac{1}{2} [x^{(1)}(3) + x^{(1)}(2)] & 1 \\ \vdots & \vdots \\ -\frac{1}{2} [x^{(1)}(N) + x^{(1)}(N-1)] & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ u \end{bmatrix}$

最小二乘法也就是求 $(Y-BU)^T(Y-BU)$取最小值时的 $U$
求解U的估计值为 $\hat{U} = [\hat{a},\hat{b}]^T = (B^T B)^{-1} B^T Y$，即求出参数 $\hat{a},\hat{b}$ .

然后带入原微分方程，求出$\frac{dx^{(1)}}{dt} + \hat{a}x^{(1)} = \hat{b}$ 的解，即 $\hat{x}^{(1)}(k+1) = (x^{(0)}(1)-\frac{\hat{b}}{\hat{a}})e^{-\hat{b}k}+\frac{\hat{b}}{\hat{a}}$

模型检验

模型检验就是看按照 $\hat{x}^{(1)}(k+1)$ 求得的拟合值和实际值相差大不大。
相对误差检验：$\epsilon(k) = \frac{|x^{(0)}(k)-\hat{x}^{(0)}(k)|}{x^{(0)}(k)}$ ，如果 $\epsilon(k)<0.2$，可认为达到一般要求；如果 $\epsilon(k)<0.1$，即达到较高要求。
级比偏差检验：$\rho(k)=1-\frac{1-0.5a}{1+0.5a} \lambda(k)$，其中级比 $\lambda(k) = \frac{x^{(0)}(k-1)}{x^{(0)}(k)}$，如果 $|\rho(k)|<0.2$，可认为达到一般要求；如果 $|\rho(k)|<0.1$，即达到较高要求。